高等院校非数学类本科数学课程

—— 一元微积分学

大 学 数 学（一）

第三十四讲 常微分方程

脚本编写：刘楚中

教案制作：刘楚中

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第七章 常微分方程

本章学习要求：

了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.

了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方

程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分

方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.

会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.

知道下列高阶方程的降阶法：

了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线

性微分方程的解法.

熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.

掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余

弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方

程的解法.

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连续积分 4 次，得原方程的通解为

了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线

知道下列高阶方程的降阶法：

可以直接写出该方程的通解：

这是一个一阶微分方程。

只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程，但请注意：每次积分都应该出现一个积分常数。

这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。

掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余

了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线

这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。

第七章 常微分方程

“降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。

知道下列高阶方程的降阶法：

第三节 几种可降阶的高阶常微分方程

二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。

通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。

“降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。

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这是变量可分离的方程，两边积分，得

即

只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程，但请注意：每次积分都应该出现一个积分常数。

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例

解

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例

解

日期

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这是一个一阶微分方程。设其通解为

连续积分即可求解。

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例

解

两边积分，得

即

再积分，得原方程的通解

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例

解

分离变量，得

积分，得

连续积分 4 次，得原方程的通解为

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